Basic! 인공지능 수학 part 7: 확률

Basic! 인공지능 수학 일곱 번째 시간으로 확률에 대해 알아보도록 합시다.

확률

확률(probabiliy)

• 상대 도수에 의한 확률의 정의 :
  똑같은 실험을 무수히 많이 반복할 때 어떤 일이 일어나는 비율

• 고전적 정의

  • 표본 공간 (sample space) 모든 가능한 실험결과들의 집합
  • 사건 관심있는 실험결과들의 집합
  • 어떤 사건이 일어날 확률 표본공간의 모든 원소가 일어날 확률이 같은 경우 :
    사건의 원소의 수 / 표본공간의 원소의 수

사건을 $A$라 하면 A라는 사건이 일어날 확률은 $P(A)$로 표시합니다.

확률은 0에서 1사이의 값을 가집니다.

조합 (combination)

원소의 수를 구하기위해 주로 조합을 사용합니다.
어떤 집합에서 순서에 상관없이 뽑은 원소의 집합을 의미합니다.

\[_nC_r = {n \choose r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}\]

덧셈 법칙 (Addition Law)

\[P(A \cup B) = P(A) + p(B) - P(A \cap B)\]

서로 배반 (Mutually Exclusive)

절대로 동시에 일어날 수 없는 사건 둘을 서로 배반이라 합니다.

\[P(A \cap B) = 0\] \[P(A \cup B) = P(A) + p(B)\]

조건부 확률 (conditional probability)

어떤 사건 A가 일어났을 때, 다른 사건 B가 일어날 확률을 의미합니다.

\[P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\]

곱셈 법칙

조건부 확률을 구할 수 있으면 교집합도 구할 수 있습니다.

\[P(A \cap B) = P(B \mid A)P(A)\]

서로 독립

$P(B \mid A) = P(B)$인 경우 사건 A와 B는 서로 독립 입니다.

\[P(A \cap B) = P(B \mid A)P(A) = p(B)P(A) = P(A)P(B)\]

여사건

특성 사건이 일어나지 않을 사건을 의미합니다.

$A^c$

어떤 사건과 그 여사건은 서로 배반입니다. 따라서 둘 중 하나는 반드시 일어납니다.

분할 법칙

\[P(B) = P[(A \cap B) \cup (A^c \cap B)] = P(A \cap B) + P(A^c \cap B)\] \[= P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c)\]

베이즈 정리

베이즈 정리를 활용하면 A의 관련정보를 가지고 B의 관련정보를 알 수 있습니다.
일종의 추론을 가능하게 해줍니다.

\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\] \[= \frac{P(B \mid A)P(A)}{P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c)}\]